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Angélica del Carmen Palma Muñoz

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DILATACIÓN DE SÓLIDOS Y LÍQUIDOS  

 

 

DILATACION DE SOLIDOS Y LIQUIDOS

DILATACIÓN:

Es el aumento de volumen que experimentan los cuerpos por cuando aumenta su temperatura.

 

Fácil  es probar  que todos los cuerpos, salvo muy raras excepciones, se dilatan al calentarse  y se contraen al enfriarse. Para ellos basta con calentar  o enfriar diversos cuerpos y observar lo que ocurre.

Igualmente sencillo es probar que la dilatación se produce en todas direcciones, lo que no podría  ser de otro modo desde que se trata de un aumento  de volumen.

Sin embargo, de acuerdo  son las características dimensionales de los cuerpos, en la práctica, se acostumbra hacer distinción entre dilatación longitudinal o lineal, dilatación superficial y dilatación cúbica.

 

DILATACIÓN LINEAL DE LOS SÓLIDOS

 

Es el aumento de longitud que experimentan ciertos cuerpos en los cuales la dimensión predominante es el largo.

Tal es el caso de las varillas, rieles, tubos, cables, vigas, etc.

¿De qué factores depende este aumento de longitud?

 

Tomemos una varilla  de longitud i  y elevamos su temperatura en cierto número  de grados. Observaremos un aumento de longitud Δi (deltai) si aumentamos sucesivamente el largo  de la varilla al doble, triple, et. Manteniendo su naturaleza y grosor, y la sometemos al mismo aumento de temperatura, observaremos que la dilatación experimentada es también el doble, triple, etc. De la primitiva.

Luego, la dilatación lineal de un sólido es directamente proporcional a su longitud inicial.

Si en la experiencia anterior se somete una misma varilla al doble, triple, et., aumento de temperatura, observaremos que la dilatación es también el doble, el triple, de la primitiva.

Leugo, la dilatación lineal  de un sólido  es directamente proporcional  al aumento de temperatura que experimenta.

Ahora, si sometemos varias varillas de igual longitud, pero de diferentes sustancias, a un mismo aumento de temperatura, observaremos que las dilataciones experimentadas son distintas.

Luego, la dilatación lineal de un sólido  depende de su naturaleza.

Medir la dilatación  lineal experimentada por un cuerpo en determinadas condiciones no es problema, en la práctica; pero con mucha frecuencia es necesario calcular la dilatación que experimentarían algunos cuerpos  sometidos a variaciones hipotéticas  o reales de temperatura y cuya influenza en el uso de rieles, cables, tubos, etc.

Para establecer una relación que permita  practicar  este calculo.

 

 

Este valor se denomina coeficiente de dilatación lineal y es característico para cada sustancia. Se define en cualquiera de las dos formas siguientes:

 

Coeficiente de dilatación lineal de un sólido es la dilatación  media que éste experimenta, por unidad de longitud, cuando su temperatura aumenta en   1ºC.

 

Coeficiente de  dilatación  lineal de un sólido es la razón  entre la dilatación  experimentada por éste y el producto de su longitud inicial por la elevación de temperatura correspondiente.

 

La fórmula anterior permite además,  de definir y calcular el coeficiente de dilatación  lineal de cualquier sólido, determinar la dimensión   de dicho contiene algunos coeficientes d dilatación lineal, expresados en (ºC)-1

 

Sustancia    coeficiente     sustancia    coeficiente

Al                0,000023       latón            0,000019

Acero         13                   Au               14

Cu              17                  Ag                19

Sn              22                  pt                 9

Fe              12                   Pb               29

 

Según lo expuesto,   que el coeficiente de la dilatación    lineal  del  Cu sea 0,000017 (ºC)-1 significa que una varilla de Cu   de un cm, m, Km., etc., cuando su temperatura aumenta en   1ºC.

 

APLICACIONES DE LA DILATACIÓN LINEAL

 

La dilatación lineal de los sólidos tiene numerosas aplicaciones prácticas, la mayoría de las cuales se basa en la gran fuerza que se desarrolla por efecto de la   dilatación.

 

Una de las más corrientes la tenemos en la termometría, en la construcción de termómetros de sólidos como termostatos y termógrafos, mediante el uso de láminas  bimetálicas, formadas por dos láminas de metales de muy  diferente coeficiente de dilatación lineal, yuxtapuestas y  soldadas entre sí.

 

La lámina bimetálica  se encorva hacia el metal de menor coeficiente  de dilatación cuando sube la temperatura y mayor coeficiente  se dilata o se contrae más rápidamente que el otro.

 

En algunos termómetros de sólido la lámina bimetálica está enrollada  en forma circula y se le agrega una aguja indicadora.

 

  

 

LA  DILATACIÓN EN LAS CONSTRUCCIONES

 

En toda clase de construcción, uno de los factores importantes de necesaria consideración es la dilatación de los materiales usados.

 

Así, ingenieros, arquitectos, constructores, etc. deben poner especial interés en evitar  los desastrosos efectos de la dilatación en construcciones de edificios, puentes, vías férreas, maquinarias, en el tendido de cables en telecomunicaciones, en el transporte de energía  eléctrica, etc.

 

Por ello es que los rieles  de la vía férrea deben quedar siempre ligeramente separados y no ser de excesiva longitud;  el pavimento de las calles se hace por pequeñas áreas separadas en cuyas junturas se pone alquitrán para permitir con facilidad su  dilatación  en el verano;  los cables de telecomunicaciones como los de transporte de energía no deben quedar excesivamente tensos para evitar que se corten con las contracciones  en el invierno; los puentes deben estar rígidamente fijos sólo por un extremo o bien, construidos de tal modo que permitan  la expansión  de los materiales po sectores, como en el pavimento, etc.

 

También es indispensable considerar los efectos de la dilatación en la construcción de  los relojes  de péndulo, ya que su precisión está directamente ligada a la invariabilidad de la longitud  de su péndulo.

 

Si el péndulo se dilata el reloj atrasa y si se contrae, adelanta. Para  evitar este inconveniente se ha ideado el llamado péndulo  compensador, que está construido mediante dos metales de distinto coeficiente de dilatación.

 

En la figura siguiente se puede apreciar cómo se consigue anular la dilatación del péndulo: las láminas  a  se dilatan hacia abajo en tanto que las b   se dilatan hacia  arriba y asi se contrarresta  el alargamiento producido.

 

DILATACIÓN  CÚBICA DE LOS SÓLIDOS

 

Es el aumento de volumen   que  experimentan los sólidos cuando aumenta su temperatura.

Los factores que  influyen en la dilatación cúbica de un sólido se determinan en igual forma que en la dilatación y son los siguientes:

 

a)     volumen inicial (vi)  la dilatación cúbica  de un sólido es directamente proporcional a su volumen inicial.

b)     Aumento de temperatura -  La  dilatación cúbica de un sólido es directamente  proporcional al aumento de temperatura que experimenta.

c)      Naturaleza de la sustancia – Procediendo de manera análoga a la empleada para establecer un medio de calcular la dilatación  lineal, se tiene:

V1  = V1 (1 + k · t) 

 

En que Vi es el volumen inicial, vf  es el volumen final,  t es el aumento d temperatura  y k. la dilatación experimentada por una unidad de volumen cuando la temperatura  aumentada en 1ºC.

Este último valor,  característico para cada sustancia, se denomina coeficiente de dilatación  cúbica y se define en cualquiera de las dos formas siguientes:

 

Coeficiente de dilatación cúbica de un sólido es la dilatación media que éste experimenta, po unidad de volumen, cuando su temperatura aumenta en 1ºC.

 

 

Coeficiente de dilatación cúbica de un sólido es la razón entre la dilatación  experimenta por éste  y el producto de su volumen inicial por la elevación de temperatura correspondiente.

 

 

DILATACIÓN DE LOS LÍQUIDOS

 

En el caso de los líquidos, salvo casos excepcionales,  hablaremos exclusivamente de dilatación cúbica, por cuanto, aún en los tubos capilares de los termómetros, es necesario considerar que la dilatación en el sentido transversal influye en la dilatación lineal observada.

Por otra parte, es prácticamente imposible  independizar po completo  la dilatación del líquido de la experimentada por el recipiente que lo contiene, de tal modo que se hace necesario distinguir entre  dilatación aparente y dilatación  absoluta o verdadera del líquido.

Dilatación  aparente es la dilatación que se observa en el líquido, influenciada por la que experimenta el recipiente que lo contiene.

Dilatación absoluta  es la dilatación verdadera del líquido, que observaríamos si el recipiente no se dilatara.

Resulta evidente que  la dilatación  absoluta de un líquido  equivale a la dilatación aparente observada más  la que experimenta el recipiente.

O sea:        D absoluta =  D aparente + D recipiente

 

Y como se trata, en cada caso, de dilatación cúbica, se tiene que el coeficiente de dilatación  absoluta del líquido  es igual al coeficiente  de dilatación aparente más del de dilatación cúbica del recipiente.

 

Luego, basta determinar el coeficiente de dilatación  aparente, en la forma  como se procedió  para los sólidos,  para que s etenga el de dilatación absoluta y, con ello, sea posible aplicar a los líquidos  las mismas fórmulas de dilatación cúbica que a los sólidos.

A continuación se indican algunos coeficientes d edilatación absoluta, expresados en  (ºC)-1

 

 

Liquido                        coeficiente de dilatación absoluta

Alcohol                       0,00112

Mercurio                     0,00018

Petróleo                     0,00096

Agua                          0,00021

 

En cuanto a la significación de estos coeficientes, ella puede darse, como la de cualquier coeficiente de dilatación  cúbica en forma análoga a la indicada para los coeficientes de dilatación lineal.

 

 

DILATACIÓN DEL AGUA

 

Estudiaremos aparte el caso del agua, dado que representa  características que hacen  de su dilatación un caso muy especial.

Se ha podido comprobar, haciendo mediciones experimentales, que el agua, al aumentar  su temperatura  entre 0ºC  y 4ºC  se contrae en lugar de dilatarse.  Cuando  la temperatura sube gradualmente, desde los 4ºC, el agua empieza a dilatarse con mayor regularidad.

Este  compartimiento extraordinario del agua, que algunos llaman  anomalía, tiene consecuencias tan importantes como las siguientes:

 

a) el agua tiene su menor volumen y por consiguiente  su mayor densidad a 4ºC. esto explica  que para ciertas  definiciones  o experiencias se hable de agua destilada a 4ºC.

 

b) la temperatura del agua en el fondo de los grandes ríos, lagos y mares se mantiene siempre próxima a los 4ºC, lo que explica el normal desarrollo de la vida animal y vegetal en ellos en la  épocas  de los grandes fríos, en que se produce la solidificación del agua la solidificación del agua desde la superficie sólo hasta cierta profundidad muy relativa.

El proceso de enfriamiento del agua hasta la solidificación de la superficie es el siguiente: el agua de la superficie se enfría hasta los 4ºC  y entonces baja hacia  el fondo, por su mayo densidad, mientras otra más cálida ocupa su lugar. Con  ésta se produce lo mismo y luego con la que sigue y así sucesivamente hasta  que toda la masa del líquido está a 4ºC. al continuar enfriándose, el agua de la superficie ya no baja, pues ahora aumenta de volumen y, por lo tanto, se hace  menos densa y permanece  en su lugar hasta su solidificación.

 

 

DILATACIÓN

 

Los efectos más comunes que ocasionan las variaciones de temperatura en los cuerpos o sustancias,  son los cambios de sus dimensiones y los cambios de fase.  Nos  referiremos a los cambios de dimensiones de los cuerpos sin que se produzcan cambios de fase.

Llamamos dilatación al cambio de dimensiones que experimentan los sólidos, líquidos y gases cuando se varía la temperatura,  permaneciendo la presión constante.  La mayoría de los sistemas aumentan sus dimensiones cuando se aumenta la temperatura.

La experiencia demuestra que el coeficiente de dilatación lineal depende de la  temperatura.  Se  puede definir el coeficiente de dilatación lineal medio “αt”,  como "el aumento que experimenta la unidad de longitud inicial, que se encuentra a una temperatura t cualquiera, cuando se aumenta en un grado dicha temperatura”, por eso este coeficiente de dilatación medio, dependerá del incremento de temperatura.  El coeficiente de dilatación lineal medio a una  temperatura  “ t ”, puede ser deducido a partir de la ecuación (1)

Donde:

aot = f(t) coeficiente de dilatación o expansión lineal

                                                           L = Lo + aot. Lo.t

Coeficiente de dilatación

Se denomina coeficiente de dilatación al cociente que mide el cambio relativo de longitud o volumen que se produce cuando un cuerpo sólido o un fluido dentro de un recipiente experimenta un cambio de temperatura experimentando una dilatación térmica.

Coeficientes de dilatación

De forma general, durante una transferencia de calor, la energía que está almacenada en los enlaces intermoleculares entre 2 átomos cambia. Cuando la energía almacenada aumenta, también lo hace la longitud de estos enlaces. Así, los sólidos normalmente* se expanden al calentarse y se contraen al enfriarse; este comportamiento de respuesta ante la temperatura se expresa mediante el coeficiente de dilatación térmica (unidades: ºC-1):

Aplicación

 El conocimiento del coeficiente de dilatación (lineal) adquiere una gran importancia técnica en muchas áreas del diseño industrial. Un buen ejemplo son los rieles del ferrocarril; estos van soldados unos con otros, por lo que pueden llegar a tener una longitud de varios centenares de metros. Si la temperatura aumenta mucho la vía férrea se desplazaría por efecto de la dilatación, deformando completamente el trazado. Para evitar esto, se estira el carril artificialmente, tantos centímetros como si fuese una dilatación natural y se corta el sobrante, para volver a soldarlo. A este proceso se le conoce como neutralización de tensiones.

Para ello, cogeremos la temperatura media en la zona y le restaremos la que tengamos en ese momento en el carril; el resultado lo multiplicaremos por el coeficiente de dilatación del acero y por la longitud de la vía a neutralizar.

DILATACIÓN EN LÍQUIDOS

Como la forma de un fluido no está definida, solamente tiene sentido hablar del cambio del volumen con la temperatura.  La respuesta de los gases a los cambios de temperatura o de presión es muy notable, en tanto que el cambio en el volumen de un líquido,  para cambios en la temperatura o la presión, es muy pequeño. 

b Representa el coeficiente de dilatación volumétrica de un líquido,

b = 1/V.(DV/Dt)

 

Los  líquidos  se  caracterizan  por dilatarse al aumentar la temperatura,  siendo su dilatación volumétrica unas diez veces mayor que la de los sólidos.

Sin embargo,  el líquido más común, el agua,  no se comporta como los otros líquidos.  En la figura F, se muestra la curva de dilatación del agua.  Se puede notar que, entre 0  y 4ºC el agua líquida se contrae al ser calentada, y se dilata por  encima de los 4ºC,  aunque no linealmente.  Sin embargo, si la temperatura decrece de 4 a  0ºC, el agua se dilata en lugar de contraerse.  Dicha dilatación al decrecer la temperatura no se observa en  ningún otro líquido común;  se ha observado en ciertas sustancias del tipo de la goma y en ciertos sólidos cristalinos en intervalos de temperatura muy limitados, un fenómeno similar.  La densidad del agua tiene un máximo a 4ºC, donde su valor* es de 1 000 kg/m3.  A cualquier otra temperatura su densidad es menor.  Este comportamiento del agua es la razón por la que en los lagos se congela primero la superficie, y es en definitiva lo que hace posible la vida subacuática.

Los cambios de temperatura afectan el tamaño de los cuerpos, pues la mayoría de ellos se dilatan al calentarse y se contraen si se enfrían. Los gases se dilatan mucho más que los líquidos, y éstos más que los sólidos.

En los gases y líquidos las partículas chocan unas contra otras en forma continua, pero si se calientan, chocarán violentamente rebotando a mayores distancias y provocarán la dilatación. En los sólidos las partículas vibran alrededor de posiciones fijas; sin embargo al calentarse aumentan su movimiento y se alejan de sus centros de vibración dando como resultado la dilatación. Por el contrario, al bajar la temperatura las partículas vibran menos y el sólido se contrae.

DILATACIÓN DE SÓLIDOS

Una barra de cualquier metal al ser calentada sufre un aumento en sus tres dimensiones: largo, ancho y alto, por lo que su dilatación es cúbica. Sin embargo en los cuerpos sólidos, como alambres, varillas o barras, lo más importante es el aumento de longitud que experimentan al elevarse la temperatura, es decir, su dilatación lineal.

Para un sólido en forma de barra, el coeficiente de dilatación lineal (cambio porcentual de longitud para un determinado aumento de la temperatura) puede encontrarse en las correspondientes tablas. Por ejemplo, el coeficiente de dilatación lineal del acero es de 12 × 10-6 K-1. Esto significa que una barra de acero se dilata en 12 millonésimas partes por cada kelvin (1 kelvin, o 1 K, es igual a 1 grado Celsius, o 1 ºC). Si se calienta un grado una barra de acero de 1 m, se dilatará 0,012 mm. Esto puede parecer muy poco, pero el efecto es proporcional, con lo que una viga de acero de 10 m calentada 20 grados se dilata 2,4 mm, una cantidad que debe tenerse en cuenta en ingeniería. También se puede hablar de coeficiente de dilatación superficial de un sólido, cuando dos de sus dimensiones son mucho mayores que la tercera, y de coeficiente de dilatación cúbica, cuando no hay una dimensión que predomine sobre las demás.

DILATACIÓN DE GASES

La dilatación térmica de los gases es muy grande en comparación con la de sólidos y líquidos, y sigue la llamada ley de Charles y Gay-Lussac. Esta ley afirma que, a presión constante, el volumen de un gas ideal (un ente teórico que se aproxima al comportamiento de los gases reales) es proporcional a su temperatura absoluta. Otra forma de expresarla es que por cada aumento de temperatura de 1 ºC, el volumen de un gas aumenta en una cantidad aproximadamente igual a 1/273 de su volumen a 0 ºC. Por tanto, si se calienta de 0 ºC a 273 ºC, duplicaría su volumen.

Estrictamente hablando, como se ha visto, el valor de a depende de  temperatura, sin embargo su variación es muy pequeña y ordinariamente despreciable dentro de ciertos límites de temperatura, o intervalos que para ciertos materiales no tienen mayor incidencia.

Si despejamos  L  de la ecuación (2)

                                                    L  - Lo = aot. Lo.t

si la temperatura inicial fuera t0 ¹ 0ºC

                                                                            L = Lo ( 1 +a . Dt )

de modo que a,  representa el cambio fraccional de la longitud por cada cambio de un grado en la temperatura.

Hablando rigurosamente, el valor de a depende de la, temperatura real y de la temperatura de referencia que se escoja para determinar L.  Sin embargo, casi siempre se puede ignorar su variación, comparada con la precisión necesaria en las medidas de la ingeniería.  Podemos, con bastante seguridad, suponerla como una constante independiente de la temperatura en un material dado.  En la Tabla 1 se presenta un detalle de los valores experimentales del coeficiente de dilatación lineal promedio de  sólidos comunes.             

   Tabla 1:  Valores*   de  a

 

       Sustancia

a          ºC-1

Sustancia

a          ºC-1

Plomo

29  x 10-6

Aluminio

23 x 10-6

Hielo

52   x 10-6

Bronce

19 x 10-6

Cuarzo

0,6 x 10-6

Cobre

17 x 10-6

Hule duro

80  x 10-6

Hierro

12  x 10-6

Acero

12   x 10-6

Latón

19 x 10-6

Mercurio

182 x 10-6

Vidrio (común)

9 x 10-6

Oro

14   x 10-6

Vidrio (pirex)

3.3 x 10-6

 

* En el intervalo de 0ºC a 100ºC, excepto para el hielo, que es desde  10ºC  a  0ºC.

 

Lámina bimetálica

Una lámina bimetálica está constituida por dos láminas de metal, cada una de ellas con diferente coeficiente de dilatación, superpuestas y soldadas entre sí. De este modo se consigue que cuando se calientan, al dilatarse cada una de ellas de forma distinta, el conjunto se deforma, pudiendo aprovecharse esta deformación para la apertura o cierre de un contacto eléctrico, cuya actuación dependería de la temperatura.

Aplicaciones muy comunes de los contactos formados por láminas bimetálicas

se encuentran en planchas, tostadores, estufas eléctricas y otros electrodomésticos que llevan un termostato, así como en elementos de protección eléctrica como los interruptores magnetotérmicos.

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

CUESTIONARIO

 

 

 

1.- Defina o explique los conceptos siguientes:

A) coeficiente de dilatación lineal de un sólido

B) coeficiente de dilatación cúbica   de un sólido

C) dilatación absoluta de un líquido

D) dilatación aparente de un líquido

E) lámina bimétalica

 

2.- ¿De qué factores depende la dilatación lineal de un sólido y como influye cada uno?

 

3.-¿Qué significa que el coeficiente de dilatación lineal del aluminio sea 0,000023 1/ºC?

 

4.- Indique 3 aplicaciones de la de la dilación lineal de los sólidos

 

5.-¿Qué ocurre al variar la temperatura de una lámina bimétalica cuyos componentes tienen diferentes coeficientes de dilatación? Indique sus aplicaciones

 

6.-¿De qué factores depende la dilatación cúbica de un sólido? ¿Cómo influye cada factor?

 

7.- ¿Qué significa que el coeficiente de dilatación absoluta de la glicerina sea 0,00053  1/ºC?

 

8.- ¿Qué relación existe entre la dilatación aparente, la dilatación absoluta de un líquido y la del recipiente que lo contiene?

 

9.-¿Qué se observaría en un termómetro si el mercurio y el vidrio tuvieran igual coeficiente de dilatación cúbica?

 

10.- ¿Qué relación existe entre las longitudes totales de las 2 series de varillas de un péndulo compensador y sus respectivos coeficientes de dilatación lineal?

 

11.- ¿Cómo podría colocarse una llanta de hierro a una rueda de madera para que ajuste perfectamente?

 

12.-¿Por qué salta el esmalte de las ollas de  hierro que se colocan sin agua al fuego?

 

Problemas

 

1.- Un alambre de hierro de 1m de largo se calienta en 10ºC y otro de 2m se calienta en 5ºC ¿Cuál se dilata más?

 

2.- ¿En qué razón deben estar las longitudes de 2 varillas de Cu y Fe, para que la diferencia de sus longitudes permanezca constante a cualquier temperatura?

 

3.- ¿Qué longitud tendrá a 50ºC un alambre de cobre si se longitud a 20ºC  es de 1,20 m?

R: 120,061 cm

 

4.- Una esfera de cobre tiene un volumen de 1000 em 3  a --- 20ºC  ¿Qué volumen tendrá a 60ºC?

R: 1,0024 1

 

5.- Deduzca la fórmula que expresa la densidad de un sólido a cualquiera temperatura, dada su densidad a0ºC

 

6.- Con una regla de acero que marca exacto a 0ºC se mide la longitud de una varilla de aluminio. La regla marca 90 em a los 10ºC ¿Cuál sería la lectura si se hiciera a 30ºC?

 Acero = 0,000011 1/ºC

 

7.- Un vaso de vidrio de un litro de capacidad está lleno de mercurio a 10ºC ¿Qué volumen de Hg se derramará si se calienta hasta 60ºC? vidrio ord. = 0,000008 1/ºC

R: 7,8 cm3

 

8.- La capacidad de una matraz a 0ºC  es un litro. Calcule su capacidad de 100ºC   

R: 1,0024 cm3

 

Según lo expuesto,   que el coeficiente de la dilatación    lineal  del  Cu sea 0,000017 (ºC)-1 significa que una varilla de Cu   de un cm, m, Km., etc., cuando su temperatura aumenta en   1ºC.

 

 
 

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Cambio de estado  
La Tierra y su Entorno  
Cuestionario de Electricidad  
Conceptos fundamentales de electrostática   

PREGUNTAS FRECUENTES
Preguntas sobre la ealuacion docente 2007  
Resultados Nacionales de la Evaluación Docente 2007   
FORMULARIO DE PRESENTACIÓN DE RECURSO DE REPOSICIÓN  
Me corresponde ser evaluado este año ?  
PORTAFOLIO Descripción general   
CÓMO SERÉ EVALUADO  
QUÉ DEBO HACER SI SERÉ EVALUADO  
Calendario de Evaluación Docente  
Producto 1: Planificación de una unidad de aprendizaje  
PRODUCTO Nº2 ESTRATEGIAS DE EVALUACION  
PRODUCTO Nº3 ANALISIS DE UNA CLASE FILMADA  
REFLEXION PEDAGOGICA A PARTIR DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE Producto nº5   
Observaciones para agregar en Informe de personalidad y comportamiento escolar  
CALENDARIZACION DE UNIDADES DE 1º,3º Y 4º Matematica  
DEGLOSE CONTENIDOS 3º MATEMATICA   
MAPA DE ARTICULACIÓN CURRICULAR PLAN DIFERENCIADO 4º MATEMATICA OFV – CMO – AE / H  
MAPA DE ARTICULACIÓN CURRICULAR matematica 3º PLAN DIFERENCIADO OFV – CMO – AE / H   
COBERTURA CURRICULAR FISICA 3º MEDIO MECANICA  
DEGLOSE DE COBERTURA DE UNIDADES DE FISICA 3º Y 4º NIVEL PLAN COMUN  
Calendarizacion de 2º nivel matematica nuevo formato  
Listado de contenidos de Fisica 3º y 4º Medio Plan Comun  
RESUMEN CONCEPTOS BASICOS SOBRE SERNAC  
SUGERENCIAS Y ORGANIZACION DE UNIDADES DE MATEMATICA 1º,2º 3º Y 4º NIVEL  

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