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Nelson Alejandro Madrid Márquez

 Contenido  
Resolución de Problemas Matemáticos  

Contenido 2
Aportes desde la Psicologia Educativa a la Educación Matemática  

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Contenido 3
Educación Matemática ¿Qué?  



Instrumentos de Evaluación 
Extracto del trabajo en el área de Fidel Oteiza y otros como aporte a la matematica.
Instrumentos de evaluación del aprendizaje matemático

Fidel Oteiza Morra
Hernán Miranda Vera
 
A continuación se proponen un conjunto de instrumentos que pueden ser usados como otras formas de evaluar. Estos instrumentos son particularmente adaptables a las prácticas que involucran el uso de la tecnología informática, puesto que apuntan a explicitar actuaciones de los estudiantes (los mapas conceptuales, las pautas de presentación de proyectos, los portafolios) y a darle herramientas al profesor para observar la actuación de sus estudiantes (pauta para observar el trabajo de los estudiantes en grupos pequeños), situaciones que se ven ampliamente reforzadas cuando se trabaja con computadores.
A continuación se presentan brevemente los instrumentos y se proponen formas de usarlo en la evaluación y de asignar puntajes para transformar los indicadores observados a calificaciones.  
Mapas conceptuales
Los mapas conceptuales son instrumentos desarrollados por Joseph Novak y Bob Gowin en la Universidad de Cornell para estudiar la formación de conceptos y significados en los niños. Tienen por objeto "representar  relaciones significativas entre conceptos en forma de proposiciones" (Novak y Gowin, 1988, p. 33). Una proposición se refiere a dos o más términos conceptuales (conceptos) unidos por palabras y que en conjunto forman una unidad con un significado específico. El mapa más simple sería el formado por dos conceptos unidos por una palabra de enlace para formar una proposición válida. Por ejemplo, "el cielo es azul" representaría un mapa conceptual simple que forma una proposición con los conceptos "cielo" y "azul"
Otra manera de entender los mapas conceptuales es decir que son "recursos esquemáticos para representar un conjunto de significados conceptuales incluidos en una estructura de proposiciones" (Novak y Gowin, 1988, p. 33). En general, se sabe que los aprendizajes significativos se producen más facilmente cuando los conceptos nuevos se engloban bajo otros conceptos más amplios, más inclusivos. Los mapas conceptuales deben ser jerárquicos, esto es, los conceptos más generales e inclusivos deben situarse en la parte superior del mapa y los más específicos y menos inclusivos en la parte inferior.
Algunas formas posibles de uso de los  mapas en la evaluación del aprendizaje.
Estos mapas son herramientas muy útiles a la hora de recopilar información acerca de lo que los estudiantes saben. En general, presentan una radiografía bastante interesante acerca de lo que el estudiante tiene almacenado acerca de un concepto o conocimiento determinado, mostrando las conexiones que ha logrado establecer entre este conocimiento y otros que posee.
Bobbye Bartels (1995) muestra formas interesantes acerca del uso de los mapas conceptuales en la evaluación de los estudiantes tanto formal como informal. Según este autor, los mapas conceptuales son una excelente herramienta para que los alumnos muestren el grado de profundidad alcanzado en el aprendizaje. También sirven para mostrar cómo llega un estudiante al enfrentarse a un conocimiento nuevo, explicitando los conocimientos previos adquiridos en torno al tema.
Para usar el mapa conceptual en la evaluación del aprendizaje es importante que exista un mapa de referencia, que actúe como guía y con el cual se puedan establecer ciertas comparaciones. Estos mapas guías deben ser construídos por el profesor y discutidos con otros colegas para su validación.
Las actividades a desarrollar con los alumnos pueden ser de varios tipos. Las más simple es darles un concepto específico y que construyan un mapa usando algún ejemplo como modelo. También existen otras posibilidades, como por ejemplo:
·      Dados un conjunto de relaciones y un conjunto de conceptos, que los estudiantes establezcan los  nexos y las jerarquías entre dichas relaciones y  conceptos.
·      Dados un listado de conceptos y un mapa vacío que los estudiantes completen el mapa colocando los conceptos en el lugar apropiado.
·      Dado un conjunto de relaciones y un mapa sólo con los conceptos, que los estudiantes establezcan las relaciones apropiadas.
·      Dado un mapa incompleto, los estudiantes agreguen las relaciones y conceptos que faltan.
El mapa conceptual puede ser usado para trabajar tanto en forma individual como grupal. En general, es más conveniente hacerlo en forma grupal por la riqueza que produce la discusión en torno a la construcción del mapa.
Para evaluar y, eventualmente, calificar el trabajo del estudiante con los mapas conceptuales, el citado autor Bartels propone tres categorías y para cada una establece 4 criterios de desempeño a los cuales le asigna un puntaje y que se muestra a continuación:
Conceptos y terminología
3 Puntos
Muestra un entendimiento del concepto o principio matemático y usa una notación y una terminología adecuada
2 Puntos
Comete algunos errores en la terminología empleada y muestra algunos vacíos en el entendimiento del concepto o principio
1 Punto
Comete muchos errores en la terminología y muestra vacíos conceptuales profundos
0 Punto
No muestra ningún conocimiento en torno al concepto tratado
Conocimiento de las relaciones entre conceptos
3 Puntos
Identifica todos los conceptos importantes y demuestra un conocimiento de las relaciones entre estos
2 Puntos
Identifica importantes conceptos pero realiza algunas conexiones erradas
1 Punto
Realiza muchas conexiones erradas
0 Punto
Falla al establecer en cualquier concepto o conexión apropiada
Habilidad para comunicar conceptos a través del mapa conceptual
3 Puntos
Construye un mapa conceptual apropiado y completo, incluyendo ejemplos, colocando los conceptos en  jerarquías y conexiones adecuadas y colocando relaciones en todas las conexiones, dando como resultado final un mapa que es fácil de interpretar
2 Puntos
Coloca la mayoría de los conceptos en una jerarquía adecuada estableciendo relaciones apropiadas la mayoría de las veces, dando como resultado un mapa fácil de interpretar
1 Punto
Coloca sólo unos pocos conceptos en una jerarquía apropiada y usa sólo unas pocas relaciones entre los conceptos, dando como resultado un mapa difícil de interpretar
0 Punto
Produce un resultado final que no es un mapa conceptual
Pautas para observar las actuaciones del estudiante que trabaja en pequeños grupos.
A continuación, se propone una pauta para guiar la mirada de un observador externo a una situación de aprendizaje. Externo, en el sentido que observa el trabajo y las interacciones que se producen entre el estudiante y el objeto de conocimiento. Originalmente se la propuso para observar el desempeño de estudiantes que trabajaban con material de enseñanza diseñado para apoyar el aprendoizaje independiente.
Se la puede usar como referente para tener criterios más específicos cuando se deja a un grupo de estudiantes trabajando en forma independiente y se tiene la oportunidad de observar con más detenimiento su actuación, cosa que se tiende a dar con cierta facilidad en el laboratorio de computación una vez que los alumnos han pasado la etapa de entrenamiento básico y de sorpresa inicial con este nuevo medio.
La aplicación de este instrumento, o de algunos de sus indicadores, supone una actuación activa por parte del estudiante y una actuación fundamentalmente de apoyo y observación por parte del profesor. Esta pauta, está concebida para evaluar procesos de aprendizaje y para darle criterios al profesor acerca de qué están sintiendo los alumnos en su relación con el conocimiento.  
Pauta de observación
Materia:_________________________________________________________
Profesor:_________________________________________________________
Fecha:____________________
Alumno:_________________________________________________________
Conducta observada
Interés
1. Pide más información
2. Pide repetir la actividad
3. No le importa quedarse en el recreo
4. Repite con otros lo que hizo
Frente al éxito personal o del grupo
5. Pide más trabajo
6. Se alegra (ríe, hace bromas,...)
7. Se da importancia (molesta, se burla de otros,...)
Frente a una dificultad
8. Busca alternativas, trata de salir solo
9. Pide ayuda
10. Se angustia
11. Deja de trabajar
Frente al fracaso propio
12. Comienza nuevamente
13. Se angustia
14. Deja de trabajar
Frente al éxito de los demás
15. Se alegra, coopera
16. Es indiferente y/o no lo nota
17. Molesta
Frente al fracaso de los demás
18. Ayuda
19. Es indiferente y/o no lo nota
20. Molesta
En relación con los procesos
21. Puede explicar lo que ha hecho.
22. Le cuesta encontrar palabras para explicar cómo pensó o cómo lo hizo
23. Se ayuda con gráficas para explicar sus procedimientos.
24. Escucha con interés los procedimientos de sus compañeros.
25. Se apresura a "tachar" o a considerar erróneo su procedimiento.
26. Dados dos procedimientos puede reconocer que existen caminos alternativos y válidos.
27. Puede discriminar entre pasos correctos y pasos erróneos.
28. Reconoce el uso de figuras o de otros apoyos auxiliares.
En relación con la información disponible
29. Discrimina entre información relevante e irrelevante.
30. Discrimina entre la información provista (datos) y la pedida (incógnita/pregunta).
31. Reconoce información relevante no dada.
32. Busca información adicional.
33. Reconoce situaciones más que determinadas o con información contradictoria.
34. Reorganiza información dada para que se ajuste a una situación también dada.
35. Pone a prueba la validez: "si..., entonces..., luego...".

Pauta para evaluar exposiciones orales.

Este instrumento puede ser una valiosa ayuda para valorar el trabajo independiente expresado a través de una exposición oral. Si bien está concebido para evaluar la exposición de los resultados de la investigación de un problema matemático al resto de la clase, se lo puede adaptar con cierta facilidad a la evaluación de la exposición de otro tipo de problemas. Por ejemplo, la investigación acerca de problema de la droga, o de la sobrexposición de los niños a la TV, del embarazo juvenil, las reacciones químicas del cuerpo a la exposición de agentes contaminantes como el CO2 o el plomo, etc.
Problema:____________________________
 
Grupo:
_______
Presentador:___________________________
 
 
 
 
Bien
Mal
Necesita mejorar
Explica claramente
 
 
 
Explica pensamientos, no sólo pasos
 
 
 
Pregunta por otras soluciones a la clase
 
 
 
Presenta más de una solución (en caso que exista y esté disponible)
 
 
 
Extiende el problema mediante la presentación a la clase de un problema nuevo derivado del presentado,  mostrando patrones en el problema o bien mostrando similitudes de este problema con otro realizado previamente
 
 
 
Realiza buenas preguntas a la clase, tales como: ¿será esta la única manera de hacerlo?, ¿es esta la única respuesta posible?, ¿qué pasa si...?
 
 
 
Responde las preguntas realizadas por la clase
 
 
 
Muestra transparencias u otro medio de exposición adecuado
 
 
 
Se expresa en forma audible y clara
 
 
 
Si recibe una respuesta incorrecta, la usa  para crear una discusión
 
 
 
El grupo no es agresivo entre si ni con en el resto de sus compañeros
 
 
 
El grupo apoya la exposición (estuvo atento y/o contribuyó)
 
 
 
Miembros del grupo participan en otras discusiones de problemas
 
 
 
El grupo trabaja unido
 
 
 
Todos los miembros del grupo tienen tarea para la casa
 
 
 
Escuchan las ideas de otras personas en el trabajo para la casa o corrigiendo las soluciones y las preguntas
 
 
 
 
 
 
 
Puntaje máximo: 32
 
 
 
 
 
 
 
Puntaje recibido:
 
 
 
Para usar esta pauta en la calificación del trabajo de los alumnos, use la siguiente escala.
Bien: 2 puntos
Necesita mejorar: 1 punto
Mal: 0 punto
El puntaje máximo posible es de 32 puntos, y que puede ser transformado en una nota de 1 a 7 usando la siguiente fórmula:
Nota = Puntaje x 0,2 + 1

 

La realización de proyectos originales por parte de los estudiantes, donde ellos se planteen un desafío de conocimiento puede ser una herramienta muy útil y eficaz para alcanzar logros de aprendizaje que hoy aparecen altamente valorados en las propuestas curriculares que incentivan el cambio. En este sentido, los computadores representan una herramienta muy potente para desarrollar iniciativas de este tipo, donde los estudiantes deben crear “documentos” que reflejen el proceso de investigación y los pasos dados para resolverlo.
La pauta siguiente establece tres áreas de observación respecto del trabajo del alumno, en donde es importante observar y orientar su desempeño, a saber: la formulación del proyecto, el desarrollo del proceso de investigación y, por último, la presentación de los resultados.
Haciendo una paráfrasis con el trabajo de un investigador científico, la formulación refiere a cuando presenta su proyecto a un fondo concursable para obtener los recursos que permitirán que éste se lleve a cabo. El desarrollo refiere a la investigación propiamente tal, que se realiza una vez que los fondos fueron aprobados. Por último, la presentación de resultados refiere a la exposición del trabajo en un encuentro de carácter científico en el área de la investigación o a la publicación de los resultados en alguna revista especializada.
Proyecto:_________________________
Integrantes: ______________________
                    ______________________
                    ______________________
 
 
 
 
Bien
Mal
Necesita mejorar
Formulación
 
 
 
Usa ideas propias o reformula en forma original las ideas de otros para orientar su investigación
 
 
 
Plantea en forma clara el problema a investigar
 
 
 
Formula una secuencia de pasos a seguir para orientar su investigación (plan de trabajo)
 
 
 
Se plantea metas parciales a lograr en el tiempo
 
 
 
Desarrollo
 
 
 
Utiliza distintas fuentes de información y de consulta (incluido el profesor)
 
 
 
Discute con otros compañeros acerca de los avances de su investigación
 
 
 
Presenta informes de avances parciales de su trabajo
 
 
 
Presentación de resultados
 
 
 
Realiza voluntariamente una exposición oral al resto de la clase para presentar los resultados de su investigación
 
 
 
Presenta un informe escrito de acuerdo con los términos de referencia del proyecto
 
 
 
Usa un lenguaje claro y adecuado para presentar los resultados de su trabajo
 
 
 
Usa figuras, tablas y diagramas que ayudan en la claridad de la información presentada
 
 
 
Establece conclusiones apropiadas válidas, acordes con el problema investigado y con los objetivos planteados
 
 
 
Puntaje máximo: 36                             
                                   
Puntaje recibido:                                  
 
 
 
Para usar esta pauta en la calificación del trabajo de los alumnos, use la siguiente escala.
Bien: 2 puntos
Necesita mejorar: 1 punto
Mal: 0 punto
El puntaje máximo posible es de 36 puntos, y puede ser transformado en una nota de 1 a 7 usando la siguiente fórmula:
Nota = Puntaje 0,2 + 1
La técnica del portafolio.
La técnica del portafolio es una manera de aproximarse al proceso de evaluación que se sustenta en la teoría constructivista del aprendizaje. En este sentido, el portafolio actúa como un repositorio del conocimiento del estudiante, que permite ir acumulando productos (“artefactos”) construidos durante en el proceso, que representan lo que él ha aprendido.
Los productos almacenados en el portafolio deberían evidenciar lo que el alumno ha aprendido y pueden ser usados para motivar discusiones entre los propios estudiantes o con el profesor.
Una ventaja de esta forma de evaluación, y también de aprendizaje, dice relación con la posibilidad que tiene el estudiante de decidir qué productos colocar en el portafolio, cómo describir lo que este producto respresenta y relacionarlo de manera dinámica con el conocimiento que éste representa.
Por medio de los productos construidos (“artefactos”), estudiantes y profesores pueden establecer conversaciones muy interesantes acerca de cómo se alcanza el conocimiento y cómo el aprendizaje se va construyendo en el tiempo.
A modo de ejemplo, si un producto pierde relevancia para el estudiante a lo largo del proceso, puede ser removido del portafolio o bien ser usado como una muestra de cómo el aprendizaje va cambiando a medida que pasa el tiempo.
También los profesores pueden obtener mucha información respecto de sus estudiantes, analizando los productos que ellos eligen poner en su portafolio. En particular, analizando los diferentes sentidos que adquiere el conocimiento a lo largo del tiempo para los estudiantes.
Una característica importante de los portafolios es que estos deben ser construidos integramente por el estudiante y su evaluación parcial y final debe ser negociada entre el estudiante y el profesor, de modo que le permita al estudiante tener certeza que está “construyendo” un camino válido hacia su conocimiento.
A continuación, se describe bremente una estrategia para implementar esta técnica en un curso en particular.
1.      Las evidencias de aprendizaje que el estudiante provea, tomarán la forma de un producto (“artefacto”). Cada producto deberá ser etiquetado con un nombre que lo describa.
2.      Una pequeña referencia escrita debe ser entregada junto con el producto para dar a conocer qué representa éste en el portafolio. Esto es, los productos deberán ser usados para convencer al lector (el profesor u otro estudiante) de que el aprendizaje ha ocurrido. Cada descripción, entonces, será parte de este argumento.
3.      Cada sección del portafolio debe contener un índice con los productos que van en esa sección.
4.      Cada sección del portafolio debe tener una tabla con el puntaje que puede ser usado para “cuantificar” el aprendizaje logrado. Por ejemplo, se puede usar una escala de 5 puntos, donde se establece un criterio para un 1, un criterio para un 2 y así sucesivamente.
5.      El portafolio puede tener una sección de evaluación, donde el estudiante muestra sus propias evaluaciones acerca de su aprendizaje. También puede contener evaluaciones de sus compañeros.
6.      El portafolio debe estar en poder del estudiante, pues es él quien debe decidir qué cosas colocar y cuándo colocarlas. Sin embargo, el profesor debe mirar el portafolio al menos una vez al mes, para orientar el proceso y negociar la evaluación con el estudiante.
A modo de ejemplo, en el área de Educación Musical, supongamos que un profesor decide que durante el primer semestre va a evaluar su curso mediante esta técnica. Lo que espera que sus estudiantes aprendan durante ese semestre es: crear una canción popular simple usando arreglos de tres instrumentos (por ejemplo, bombo, flauta y guitarra), escribiendo su letra y su partitura.
Las categorías para el portafolio podrían ser las siguientes:
·        Letra de la canción
·        Partituras
·        Grabaciones
·        Video clip
·        Opiniones acerca de la creación musical
Es importante recordar que, tanto las categorías del portafolio como sus productos y descripciones correspondientes, deben ser generadas por los estudiantes.
Otro ejemplo, ahora si en el área de Matemática, podría ser el de un profesor que desea evaluar el tema de ecuaciones de primer grado para el nivel NB6. Lo que espera que sus estudiantes aprendan respecto al tema es que sepan identificar una ecuación de primer grado, que sepan resolver ecuaciones dadas y que sepan enfrentar y resolver problemas verbales cuya solución es posible mediante una ecuación de primer grado.
Las categorías para el portafolio podrían ser las siguientes:
·        ¿Cómo reconozco una ecuación de primer grado?
·        Distintas formas que se usan para resolver una ecuación
·        Problemas en que se usan ecuaciones
·        Dónde se pueden usar ecuaciones
A través de los trabajos realizados por el estudiante y presentados en cada sección del portafolio debidamente identificados de acuerdo a las categorías elegidas por él, debería evidenciar claramente el avance del conocimiento y manejo que el estudiante posee acerca del concepto de ecuación. Además, mediante un análisis junto con el estudiante debería quedar claro dónde existen vacíos y en qué temas posee más dominio.
 
Pauta para evaluar proyectos realizados por alumnos 
 

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