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4.) Guia Nº 2: Aplicando las Potencias

Objetivos:

Aplicar el concepto de potencia y sus propiedades.

1) Observa la sucesión: 1, 8, 27, 64,...Determina:

a) El sexto término.
b) El décimo término.
c) El término n-ésimo

Respuesta:

Cada número de la sucesión se puede representar por una potencia ( el cubo de un número). Así tenemos:

   1 =
13      8 = 23      27 = 33     64 = 43  ...y así sucesivamente.

a) El sexto término es  63 = 216.-
b) El décimo término es 103 = 1.000.-
c) El término n-ésimo es  n3.-

2) Observa la sucesión: 1, 3, 9, 27, ...Determina:

a) El séptimo término
b) El término de lugar 100.
c) El término n-ésimo

Respuesta
:

Cada número de la sucesión se puede representar por una potencia de base 3. Así tenemos:

1 =
30      3 = 31      9 = 32       27 = 33  ...y así sucesivamente.

Luego, la sucesión la podemos escribir como: 30 ,  31 , 32 , 33  . . .

a) El séptimo término es:
t7= 36
b) El término de lugar 100 es:  t100= 399
c) El término n-ésimo es:  tn= 3n-1


3) En el tablero de ajedrez:

Se coloca $1 en la primera casilla, $ 2 en la segunda casilla, $ 4 en la tercera casilla y así sucesivamente,   siguiendo el orden que indica la línea roja,   hasta llegar a la última casilla.                      

a) ¿Cuánto dinero se debe colocar en la casilla 8?
b) ¿Cuánto dinero se debe colocar en la casilla 24?
c) ¿Cuánto dinero se debe colocar en la última cásilla?


 Respuesta
:

Cada una de las cantidades de dinero que se depositan en las casillas se pueden escribir como una potencia de base 2. Así tenemos:
 $ 1 = $ 20        $ 2 =$ 21       $ 4 = $ 22   ... y así sucesivamente.

Luego, la sucesión la podemos escribir como: $ 20 ,  $ 21 , $ 22 , . . .

a) En la casilla 8 se debe colocar:  C8 = $ 27 = $ 128.-

b) En la casilla 24 se debe colocar: C24 = $ 223 = $ 8.388.608.-

c) En la casilla 64 se debe colocar: C64 = $ 263

4.) Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:

a) 23x - 6 = 1                               b) 34x - 11= 3
sol:                                                 sol:
     23x - 6 = 20                              
34x - 11 = 31
     3x - 6 = 0                                  4x - 11= 1
         3x = 6 /: 3                                 4x = 12 /: 4
            x= 2                                         
x= 3


d) 53x + 6 = 125                          d) 74x + 19= 1/7

sol:                                                 sol:
    53x + 6 = 53                             74x + 19 = 7-1
      3x + 6 = 3                                    4x + 19 = -1
         3x = -3 /: 3                               4x  = - 20 /: 4
           x= -1                                       x = - 5 

 

e) 252x - 1 = 125                        f) (2/3)x + 1= 9/4
sol
:                                                  sol:
     
(52)2x - 1  = 53                           (2/3)x + 1= (2/3)-2
     54x-2
     = 53 
                           x + 1 = - 2
        4x - 2 = 3                                  x = - 2 - 1
             4x = 5 /: 4                            
x = - 3
                  
x= 1,25

g) 2x  +  2x+1  +  2x+2  +  2x + 3  = 60
sol: 
         2x .( 1  +  21  +  22  +  23 ) = 60
               2x.( 1 + 2 + 4 + 8 ) = 60
                              2x.(15) = 60 /: 15
                                   2x  = 4
                                   2x  = 2
2
                                           x = 2